Funktionsplotter

Betrags-Funktion

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl x wird meist mit | x |, seltener mit abs ⁡ ( x ), bezeichnet. Das Quadrat der Betragsfunktion wird auch Betragsquadrat genannt.

Arcus-Cosinus-Funktion

Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben arccos oder acos – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Kosinusfunktion. Kosinus ist eine Funktion, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall [ − 1 , 1 ] abbildet; als deren Umkehrfunktion bildet Arkuskosinus einen Wert aus [ − 1 , 1 ] wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da der Kosinus eine periodische Funktion ist, gibt es aber zu jedem Wert aus [ − 1 , 1 ] unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Kosinus dessen Definitionsbereich auf [ 0 , π ] für Kosinus eingeschränkt. Kosinus ist auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bildet der Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise f − 1 beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen sin − 1 die klassische Schreibweise arccos zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwert Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.

Areakosinus hyperbolicus-Funktion

Der Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt arcosh oder acosh) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion vom Kosinus Hyperbolicus.

Arcuskotangens-Funktion

Der Arkuskotangens ist mit dem Arkustangens eine miteinander verwandte mathematische Arkusfunktion. Sie ist die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Kotangens eine periodische Funktion ist. Man wählt beim Kotangens das Intervall ] 0 , π [

Neben mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Zusammen mit den Areafunktionen sind sie in der komplexen Funktionentheorie Abwandlungen des komplexen Logarithmus, von dem sie auch die "Mehrdeutigkeit" erben, die ihrerseits von der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion herrührt.

Area Kotangens hyperbolicus-Funktion

Area Kotangens Hyperbolicus ist die Umkehrfunktion von Kotangens hyperbolicus und damit eine Area-Funktion.

Arkussinus-Funktion

Der Arkussinus – geschrieben arcsin oder asin – ist die Umkehrfunktion der (geeignet) eingeschränkten Sinusfunktion. Sinus ist eine Funktion, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall [ − 1 , 1 ] abbildet; als deren Umkehrfunktion bilde Arkussinus einen Wert aus [ − 1 , 1 ] wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus eine periodische Funktion ist, gibt es aber zu jedem Wert aus [ − 1 , 1 ] unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus dessen Definitionsbereich auf das Intervall [ − π 2 , π 2 ] für Sinus ueingeschränkt. Sinus ist auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise f − 1 beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen sin − 1 die klassische Schreibweise arcsin bzw. arccos zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.

Areasinus hyperbolicus-Funktion

Areasinus hyperbolicus (abgekürzt arsinh oder asinh ) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion vom Sinus hyperbolicus.

Arcustangens-Funktion

Arkustangens ist eine mathematische Arkusfunktion. Sie ist die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangensfunktion: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens eine periodische Funktion ist. Man wählt beim Tangens das Intervall ] − π / 2 , π / 2

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Zusammen mit den Areafunktionen sind sie in der komplexen Funktionentheorie Abwandlungen des komplexen Logarithmus, von dem sie auch die "Mehrdeutigkeit" erben, die ihrerseits von der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion herrührt.

Areatangens hyperbolicus-Funktion

Areatangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und damit eine Area-Funktion.

Cosinus-Funktion

Die Cosinus-Funktion ist neben der Sinus-Funktion eine elementare mathematische Funktion. Vor Tangens und Kotangens, Sekans und Kosekans bildet sie die wichtigste trigonometrischen Funktion. Cosinus wird unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis ist sie wichtig.

Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als aus Cosinuswellen zusammengesetzt beschreiben, sodass die Funktion auch in der Physik als harmonische Schwingung allgegenwärtig sind.

Cosinus hyperbolicus-Funktion

Der Cosinus hyperbolicus ist eine mathematische Hyperbelfunktion, auch Hyperbelcosinus genannt; sie trägt die Symbole cosh. Der Cosinus hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Cotangens-Funktion

Cotangens ist eine trigonometrische Funktion und spielt in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Kotangens des Winkels x mit cot ⁡ x. In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen ctg ⁡ x für den Kotangens.

Cotangens hyperbolicus-Funktion

Kotangens hyperbolicus ist eine Hyperbelfunktion. Man nennt sie auch Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Kosekans-Funktion

Kosekans ist eine trigonometrische Funktion. Der Kosekans wird mit csc ⁡ ( x ) oder cosec ⁡ ( x ) bezeichnet. Die Funktionen hat ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten.Im rechtwinkligen Dreieck ist der Kosekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion.

Exponentialfunktion

In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form a^x mit einer reellen Zahl a > 0 und a ≠ 1 und a als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).

Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne (präziser eigentlich natürliche Exponentialfunktion) bezeichnet man die e-Funktion, also die Exponentialfunktion e^x mit der eulerschen Zahl e = 2,718 281 828 459 … als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise x ↦ exp ⁡ ( x ). Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung a^x = e^(x ⋅ ln ⁡ a) jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis e zurückführen.

Bisweilen unterscheidet man im Deutschen auch zwischen exponentiellen Funktionen (allgemein) und der Exponentialfunktion (zur Basis e).

Lineare Funktion

Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion f : R → R der Form f ( x ) = m ⋅ x + n ; m , n e R , also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall n = 0, also f ( x ) = m x . Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall n ≠ 0 auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Logarithmus-Funktion

Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von altgriechisch λόγος lógos, "Verständnis, Lehre, Verhältnis", und ἀριθμός, arithmós, "Zahl") einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl x zur Basis b ist also der Wert des Exponenten, wenn x als Potenz zur Basis b dargestellt wird, also diejenige Zahl y, welche die Gleichung b^y = x löst. Man schreibt y = log b ⁡ ( x ). Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von x zu log b ⁡ ( x ), ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis b jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis b.

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung log b ⁡ ( x ⋅ y ) = log b ⁡ ( x ) + log b ⁡ ( y ) zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode, die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr.

Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von John Napier im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt.

Polynom-Funktion

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden. Ganzrationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen und enthalten ihrerseits als Spezialfälle die linearen und quadratischen Funktionen.

Quadratische Funktion

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form a x^2 + b x + c = 0 mit a ≠ 0 schreiben lässt. Hierbei sind a , b , c Koeffizienten; x ist die Unbekannte. Ist b = 0, spricht man von einer reinquadratischen Gleichung. Die linke Seite dieser Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), f ( x ) = a x^2 + b x + c der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung f ( x ) = 0 die Nullstellen dieser Parabel.

Rationale Funktion

Eine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist.

Abstrakter kann man für die Koeffizienten a z , … , a 0 , b n , … , b 0 Elemente eines beliebigen Körpers zulassen. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu den meromorphen Funktionen.

Allgemeiner kann man rationale Funktionen in mehreren Variablen sowie rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten über beliebigen Körpern betrachten.

Sekans-Funktion

Sekans ist eine trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit sec ⁡ ( x ) bezeichnet. Die Funktion hat ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten.Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert-Funktion der Kosinusfunktion.

Sinus-Funktion

Die Sinusfunktion ist neben der Cosinus-Funktion eine elementare mathematische Funktion. Vor Tangens und Kotangens, Sekans und Kosekans bildet sie die wichtigste trigonometrischen Funktion. Sinus wird unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis ist sie wichtig.

Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als aus Sinuswellen zusammengesetzt beschreiben, sodass die Funktion auch in der Physik als harmonische Schwingung allgegenwärtig sind.

Sinus-hyperbolicus-Funktion

Sinus hyperbolicus ist eine mathematische Hyperbelfunktion, auch Hyperbelsinus genannt; sie trägt das Symbol sinh.

Tangens-Funktion

Tangens ist eine trigonometrische Funktion und spielt in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels x wird mit tan ⁡ x bezeichnet. In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen tg ⁡ x für den Tangens

Die Bezeichnung "Tangens" stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte.

Tangens-hyperbolicus-Funktion

Der Tangens hyperbolicus ist eine Hyperbelfunktion. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens.

Wurzelfunktion

In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz a = x^n

Hierbei ist n eine natürliche Zahl (meist größer als 1) und a ein Element aus einem Körper (häufig eine nichtnegative reelle Zahl). Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel oder Radikal (von lat. radix "Wurzel"). Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens. Im Fall n = 2 spricht man von Quadratwurzeln, bei n = 3 von Kubikwurzeln. Wurzeln werden mit Hilfe des Wurzelzeichens notiert.